(Дополнение к книге “Понять Эйнштейна (или СТО для чайников)”)
Одним из преподавателей Эйнштейна, во время учебы в Политехникуме в Цюрихе, был выдающийся математик Герман Минковский (1864-1909), внесший, по признанию самого Эйнштейна, громадный вклад в развитие теории относительности.
В 1908 году, через три года после публикации СТО, Герман Минковский предложил удобную геометрическую интерпретацию перемещений в четырехмерном пространстве-времени, делающую кинематику СТО значительно более наглядной. Хотя, надо заметить, что эта “наглядность” становится очевидна не сразу, а только при более глубоком осмыслении всех пространственно-временных соотношений, вытекающих из СТО. Я предлагаю, не торопясь, разобраться в этом с помощью серии картинок.
К трем пространственным координатам в пространстве Минковского добавляется координата времени. Это координата своим поведением разительно отличается от трех остальных: относительно трех пространственных координат (какую ИСО ни выбирай) наблюдатель может пребывать в неподвижности, а относительно координаты времени остановиться и застыть в одной точке НЕВОЗМОЖНО. Время неудержимо идет вперед, и по оси времени любой наблюдатель неизбежно движется из прошлого в будущее. В каждой ИСО, согласно СТО, своя ось времени. И скорость движения ПО СВОЕЙ ОСИ времени для любого из наблюдателей одинакова – это требование принципа относительности. Но ход времени на других осях времени, привязанных к другим СО и другим наблюдателям, может быть иным, в соответствии с всё тем же принципом относительности. Впрочем, мы ближе к концу убедимся, что скорость времени в “чужих” СО может только замедляться, в полном соответствии с СТО (при условии, что все наблюдатели движутся равномерно, без ускорений!)
Диаграммы Минковского призваны отобразить движение в четырёхмерном пространстве на плоском рисунке. Понятно, что в плоскости листа можно изобразить только две ортогональных оси. И потому, все иллюстрации движения в пространстве-времени делают на рисунках, где три пространственных оси сведены к единственной оси “Х”, идущей горизонтально – благо мы рассматриваем прямолинейное движение, которое всегда можно уложить вдоль одной оси. А ось времени на этих рисунках смотрит вверх, что несколько необычно (на графиках мы привыкли видеть ось времени горизонтальной), но к этому легко привыкнуть.
Идём дальше – оси надо разметить. По обеим осям должны отмеряться сходные пространственные единицы – единицы длины. Поэтому по оси времени отмеряют не секунды, а секунды, умноженные на скорость света, – световые секунды. Конечно, можно использовать и световые часы, и световые годы, если по оси Х используются аналогичные единицы длины. Это, как выяснилось, очень удобно, так как величина [(Ct)² – X²] играет в пространстве Минковского роль квадрата расстояния между точками событий – саму эту величину, как мы помним, называют “интервалом” между событиями. Следовательно, прямая Х=Сt на диаграммах Минковского показывает местоположение событий, находящихся на расстоянии “нулевого интервала” от начала отсчета.
Посмотрим на наблюдателя Н, стоящего в нулевой точке на оси Х (рис.1). Он неподвижен, но в четырехмерном пространстве он, все равно, движется по оси Ct, значит, “вверх”. Линия движения “неподвижного” наблюдателя Н в четырехмерном пространстве показана синей стрелкой, и она совпадает с направлением оси времени. Положение оси Х указывает текущий(нулевой) момент времени. Выше оси Х на диаграмме расположено “будущее”, под осью Х – “прошлое”. С точки зрения Н, пространство постоянно надвигается на него из будущего и, пересекая ось Х, становится прошлым (причем, скорость набегающего вдоль оси Ct пространства равна скорости света). Тонкими черными вертикальными стрелками показан этот поток пространства, несущегося перпендикулярно оси Х.
Добавим ещё двух наблюдателей Н1 и Н2 (изобразим их стоящими на роликовых досках, рис.2), скользящих вдоль оси Х с постоянной скоростью V и -V, т.е. направо и налево по оси Х от нулевой точки. Итоговое направление их движения, являющееся векторной суммой скорости V (по оси Х) и скорости С (по вертикальной оси времени) в координатах наблюдателя Н, показано зелеными стрелками. Однако, наблюдатели Н1 и Н2 в своих СО тоже могут считать себя неподвижными, перемещающимися только во времени. Следовательно, их собственные оси времени должны лечь наклонно, также, как как и соответствующие зеленые стрелки. Соответственно, на рис.2 (на боковой вставке) наклонена ось Ct’, и наклонены черные стрелки, показывающие, откуда приближается пространство “будущего” к наблюдателю Н1 в его системе отсчета – в точности так, как поворачивались наклонно линии дождя на иллюстрации к явлению звездной аберрации (см. Глава 8). Таким образом, куда будет направлена ось времени движущегося наблюдателя на диаграмме Минковского, мы уже знаем. Но, чтобы определить, с какой скоростью вдоль этой оси он движется, нам потребуются более сложные построения. Что касается оси Х в СО движущихся наблюдателей, то она в классической физике поворачиваться не может, а вот в СТО – поворачивается, и скоро мы увидим куда.
Посмотрим (рис.3), просто для примера, какие траектории прочертят в пространстве-времени три наших наблюдателя в случае, если:
– Н, как стоял в прошлом, так и останется стоять в точке О;
– Н1, как ехал, так и продолжит ехать вправо со скоростью V;
– Н2 движется с одинаковой скоростью, но каждый час меняет направление движения на противоположное, и продолжит так двигаться в будущем.
Траектории двух первых наблюдателей – это прямые линии, вертикальная и наклонная. Траектория Н2 – зигзаг, напоминающий движение яхты галсами против ветра, только вместо ветра здесь поток времени. Траектории на диаграммах Минковского называют обычно “мировыми линиями” объектов в пространстве-времени.
Теперь обратимся к диаграмме, на которой изображены траектории двух лучей света, пробежавших вдоль оси Х в противоположных направлениях, и пересекшихся в нулевой точке – точке “О” (рис.4). Их траектории – мировые линии Х=Ct и X= -Ct – лежат точно под углом 45° к осям, и делят диаграммы пространства-времени на три крайне примечательных и важных области, благодаря тому простому факту, что скорость света является предельно возможной физической скоростью.
В верхней четверти, между линиями лучей света находится область “АБСОЛЮТНОГО БУДУЩЕГО” – это область событий, на которые мы можем повлиять из точки “О”: послать туда сигнал или иной физический объект, либо даже добраться туда сами. В нижней четверти между линиями света находится область “АБСОЛЮТНОГО ПРОШЛОГО” – область событий, которые могли влиять на наблюдателя в точке “О”. По сторонам, слева и справа от нулевой точки, находятся области событий, которые не могут быть связаны с происходящим в нулевой точке ПРИЧИННО-СЛЕДСТВЕННОЙ связью, потому что попасть в эти точки из точки “О”, либо попасть в точку “О” из этих точек, можно, только двигаясь быстрее скорости света. А это никак невозможно. Поэтому эти две области охватывают события, ПРИЧИННО-НЕЗАВИСИМЫЕ с событием, отмеченным нулевой точкой “О”. Они могут находиться как выше оси Х – в области “будущего”, так и ниже оси Х – в области “прошлого”; но это будет лишь ОТНОСИТЕЛЬНОЕ будущее и ОТНОСИТЕЛЬНОЕ прошлое. Потому что, при изменении скорости наблюдателя в точке “О”, будет поворачиваться не только ось Сt, но и ось Х, и точки событий, лежащие выше оси Х, в “относительном будущем”, могут оказаться ниже оси Х, в “относительном прошлом”. И, наоборот, события из “относительного прошлого” могут перейти в “относительное будущее”. Это не приводит ни к каким логическим противоречиям, поскольку события эти не могут влиять друг на друга, и понятия будущего и прошлого (в отсутствие единого времени) для них совершенно условны.
Здесь мы переходим к чуть более сложным построениям на плоскости Минковского. Я предлагаю вспомнить о том, что имеется некая величина “s” – интервал между событиями, – которая, при переходе в другую СО, влекущем поворот координатных осей, должна остаться неизменной, подобно тому, как на обычной плоскости переход в новую систему координат (будь то поворот или перенос координат) сохраняет расстояние между двумя точками. Для разметки осей при повороте, нам потребуется нарисовать графики функций х(t) по уравнению s²= (Сt)²-х² при разных s (s=0,1,2,3…), чтобы знать, где на плоскости Минковского расположены точки событий, равноудаленных от точки О. Заметим, что для s=0 мы уже нарисовали эти графики – это те самые скрещённые прямые от двух световых лучей, уходящие в бесконечность под углом 45° к осям.
– Позвольте! – скажете Вы.- Но как же две прямые, уходящие в бесконечность, могут обозначать точки, находящиеся на НУЛЕВОМ расстоянии от начала координат? Ведь на обычной двумерной плоскости с координатами [x; y] линия равноудаленных (на расстояние R) точек представляет собой окружность: R²= x² + y², и, при расстоянии R=0, окружность превращается в одну-единственную точку. Но тут, на плоскости Минковского, не обычная окружность, а так называемая “гиперболическая окружность” – не сумма квадратов, а разность квадратов координат. И для гиперболической окружности именно такое перекрестие бесконечных прямых, является аналогом нулевой точки. И в этом скрыт огромный физический смысл. Задумайтесь, за какое время луч света пересекает всю видимую Вселенную? Для нас – за миллиарды лет. А для самого света?
Обычно говорят, что к лучу света невозможно привязать никакую СО… Почему так? Да потому, что, согласно уравнениям Лоренца, система отсчета, привязанная к лучу, точнее, к отдельному фотону, является “вырожденной” – в ней не течет время, а всё наше пространство, по которому летит фотон, сжимается до нуля. Т.е., можно сказать, что фотон ОДНОВРЕМЕННО находится во всех точках своей траектории, а можно сказать, что вся траектория для него имеет нулевую длину, каким бы чудовищно огромным ни было пространство, которое он пересекает. Поэтому и время его полета – нулевое. Поэтому все события на пути фотона разделены нулевым расстоянием в пространстве-времени. Вся “жизнь” фотона – остановленный миг, и никакого пространства, никаких расстояний в его мире не существует. Подумайте только, как удивительно гибко устроена Вселенная. Она оказывается беспредельно огромной для одних наблюдателей, и сжатой почти в точку – для других. Это ли не волшебство! Но я отвлёкся.
Дорисуем на диаграмме кривые для s=1,2,3… и далее. Это будут четверки симметричных гипербол, пересекающих координатные оси в точках х=1,2,3 и Сt=1,2,3… (рис.1). Через любую точку на плоскости Минковского проходит только одна такая гипербола, и, двигаясь по этой гиперболе к единственной оси координат, которую она пересекает, мы попадаем либо на ось «Ct», либо на ось Х. Число на оси, в которое мы утыкаемся, «съезжая» по гиперболе, и есть величина интервала от нулевой точки СО до выбранной точки, вернее, до точечного события в пространстве-времени, которое этой точке соответствует. Если по гиперболе мы попали на ось «Ct» (как в случае с событием «А» на рис.1), то интервал «времени-подобный». Т.е., из точки «О» в точку «А» можно попасть, «пересев» в точке «О» в другую СО, движущуюся относительно данной СО со скоростью V. В той СО уже не нужно будет двигаться по оси Х, а нужно будет просто ожидать некоторое время, пока точка «А» сама подъедет к началу координат. Время до прибытия в точку «А» как раз и есть числовое значение на оси Ct, отсекаемое гиперболой. Если же по гиперболе мы попали на ось Х (как для события «В» на рис.1), то интервал – «пространственно-подобный». Это значит, что успеть попасть или передать сигнал в точку «В» из точки “О” НЕВОЗМОЖНО. И всегда находится такой наблюдатель, для которого событие «В» происходит ОДНОВРЕМЕННО с событием “О”, причем, на таком расстоянии, которое отсекает на оси Х гипербола, опущенная от точки «В».
Теперь нам предстоит последнее, самое сложное упражнение на плоскости Минковского – построение диаграмм на конкретном примере, в котором мы сможем продемонстрировать поворот как оси времени Ct, так и пространственной оси Х. Мы будем наблюдать движение материальной точки с постоянной скоростью V вдоль неподвижной линейки, имеющей единичную длину (равную 1св.секунде). Роль движущейся «материальной точки» будет исполнять второй наблюдатель, скользящий на роликах вдоль линейки от 0 до 1 (от левого края линейки до правого) со скоростью V=0.87C. Как Вы помните, при этой относительной скорости, коэффициент Лоренца примерно равен 0.5.
Сначала мы рассмотрим это движение, как и раньше, на двух отдельных диаграммах: одна – в СО наблюдателя, неподвижно стоящего в начале линейки, другая – в СО, привязанной к движущейся точке, то есть, к наблюдателю на роликах.
А затем попробуем соединить обе СО на одной диаграмме, по методике, предложенной Минковским.
На рис.6 показана диаграмма в СО, привязанной к линейке (она показана серым цветом). Линейка здесь неподвижна, и, следовательно, перемещается только во времени, вертикально вверх. Наблюдатель на роликах проезжает ее со скоростью 0.87С примерно за время Т=1.16 сек. Линейка с отрезка [OA] перемещается на отрезок [PB], на расстояние 1.16 св.сек от оси Х. Траектории концов линейки показаны черными стрелками, траектория движущегося наблюдателя, от точки «О» к точке «В» — синей стрелкой.
Это всё несложно. Но заметим, что на рис.6 невозможно углядеть почти ничего из картины, складывающейся для движущегося наблюдателя: ни времени, которое прошло на его часах (мы, правда, дорисовали ему часы, показывающие T`=0.58c, потому что из формул знаем, что для него время течет вдвое медленнее, но из диаграммы этого не видно), ни того, что линейка для него будет вполовину короче.
На рис.7 показана диаграмма в СО наблюдателя на роликах, едущего вдоль линейки. За начало отсчета взят тот же момент t`=t=0 в нулевой точке оси Х, что и на диаграмме рис.6. Оси координат в этой СО — Сt’ и x’ – мы будем показывать синим цветом, в отличие от «черных» осей системы [Сt; x]. Мы видим, что длина линейки для этого наблюдателя – вдвое короче. Однако собственное время на правом конце линейки (т.е., время на локальных часах, закрепленных на правом конце линейки) оказывается, в нулевой момент (t’=0), равным t=0.87сек. Это значение получено непосредственно из формулы Лоренца для времени t в точке [0; 0.5] «синей» системы координат [Ct’; x’]. Видно также, что путь наблюдателя от точки «О» до точки «В» — из конца в конец линейки – занял в этой СО в два раза меньшее время, чем в СО линейки, всего лишь 0.58 сек. Однако, если дорисовать на диаграмме положение событий «А» и «Р», то значительная часть перемещений правого и левого края линейки окажутся за пределами интервала в 0.58 сек. Точка «А», из которой правый конец линейки начинал движение на рис.6, имеет теперь координаты: Сt’= -1.74; x’= 2. То есть, большая часть перемещения правого конца линейки от точки «А» к точке «В» остаётся в «прошлом», ниже оси X’. А перемещение левого края линейки, от момента t=0.29 в СО линейки до точки «Р», как и сама точка «Р», произойдут в будущем, уже после попадания наблюдателя в точку «В» – координаты точки «Р» в «синих» координатных осях: Сt’= 2.32; x’= -2.
Прерывистой вытянутой серой полосой я хотел показать, где находились разные точки линейки одномоментно по часам линейки, а не по часам t’ «синей» СО. Прекрасно видно, что эта «собранная из одномоментных кусочков» линейка, во-первых, длиннее её собственной длины, и, во-вторых, что она ПОВЁРНУТА в пространстве-времени, по отношению к пространственной оси Х’.
Нам осталось показать, как на одной диаграмме совмещаются системы координат обоих наблюдателей, неподвижного и движущегося, – [Ct; X] и [Ct’; X’]. Все точки событий («O», «А», «В», «Р») при этом остаются там, где они были в СО первого наблюдателя, т.е., на рис.6. На той же пространственно-временной плоскости добавляются координатные оси Ct’ и Х’ движущегося наблюдателя, повернутые относительно осей Ct и X. Разметка осей Ct’ и Х’ производится с помощью семейства гипербол, нарисованных в СО неподвижного наблюдателя.
Определим, для начала (рис.8), где проходят оси Сt’ и X’ в нашем примере.
Ось Ct’, как мы уже знаем, совпадает с линией траектории движущегося наблюдателя. При скорости наблюдателя V=0.87C, его траектория проходит через точку [Ct=1; X=0.87] (и «финиширует» он, как мы помним, на той же прямой, в точке [Ct=1.16; X=1]). Таким образом, ось Ct’ у нас нашлась сразу по трем точкам.
Ось Х’ тоже не слишком сложно отыскать. Вспомним: мы уже посчитали, что часы на правом конце линейки показывают 0.87 на момент t’=0, т.е., ровно тогда, когда правый конец линейки оказывается на оси X’. Правый конец линейки в СО неподвижного наблюдателя всегда расположен на линии Х=1. На момент t=0.87, он находится в точке [[Ct=0.87; X=1]. Через эту точку (на рис.1 она обозначена как «А’») и пройдёт ось X’.
Рис.8
Помните, на рис.7, где оси Сt’ и X’ были ортогональны, точка “А” очутилась в “прошлом”, много ниже оси X’. Но, оказывается, точку “А” можно “отправить в прошлое” другим способом – повернув ось X’ навстречу оси Ct’ (см. рис.9):
Рис.9
Масштаб расстояний на осях Ct’ и Х’ иной, чем на осях Ct и X. Отметки делений – 1, 2, 3, и т.д. световых секунды – находятся на них там, где их пересекает соответствующая гипербола (s=1, 2, 3…). Поэтому, например, координата точки «A’» на оси X’ – это x’=0.5. И поэтому линейка, располагающаяся в нулевой момент времени «синего» наблюдателя (t’=0) на отрезке {OA’}, имеет половинную длину, в сравнении с покоящейся линейкой.
Аналогично, отрезок {OB} на оси Ct’, показывающий время движения «синего» наблюдателя вдоль линейки, оказывается в 2 раза меньше времени 1.16 св.сек, за которое «движущийся» наблюдатель проехал вдоль линейки в СО «неподвижного» наблюдателя. Гипербола, опущенная от точки «B» на ось Ct, попадает на число 0.58. Это и есть время t’=0.58, которое ушло в «синей» СО на проезд линейки мимо наблюдателя (не забудем, что в «синей» СО едет линейка, а наблюдатель на роликовой доске – неподвижен).
И заметим – отрезки времени на оси Ct’, отмеряемые точками пересечения с гиперболами (Ct=1, Ct=2, Ct=3…), оставаясь равномерными, растягиваются всё сильнее, с приближением оси Ct'(X=Vt) к линии света X=Ct (т.е., с ростом скорости V); они растягиваются много быстрее, чем отрезки прямой X=Vt между отметками времени 1, 2, 3 и.т.д… в “неподвижной” СО. Это и отражает замедление времени в “движущейся” СО.
Удобно здесь то, что мы сразу видим, как движение тел в исходной СО проектируется на другую систему координат, движущуюся относительно первой. Удобно, что точки ключевых событий остаются на местах. Некоторым неудобством, особенно при большой относительной скорости «V» и малом угле между осями Ct` и X`, является геометрическое нахождение координат некоторых событий. Их проекции на оси Ct` и X` оказываются слишком далеко. Например, координата точки «А» по оси времени (Ct`= -1.74) с трудом уместилась на диаграмме, а ее координата по оси X` (x`=2) уже вылетела за рамки листа. Еще дальше, вне рисунка, оказались координаты точки «Р». Но это беда небольшая, всегда можно взять лист побольше.
На этом завершается наше знакомство со Специальной Теории Относительности, дорогой читатель. Надеюсь, Вы не разочарованы. Если Вы чувствуете теперь, что поняли существо теории, что Ваши представления о пространстве и времени расширились, то я считаю задачу выполненной. Это знание, поверьте, стоит затраченного времени. А разнообразные парадоксы, порождаемые СТО, Вы вполне сможете обдумать самостоятельно, было бы желание. Спасибо за интерес и прочтение!